插值与逼近

『数值分析』5. 插值与逼近

插值部分下周抽时间写完。。目前这类主要是课堂笔记导出md可能会有些乱。。，还没啥自己产出的东西。。

5.5 正交多项式

• 线性空间

  • 多项式空间：加法、数乘
  • 连续函数空间：加法、数乘，类似定义有$p$阶连续导数的连续空间

• 内积与内积空间

  • 内积：对称性，正定性，双线性

    $Cauchy-Schwarz$不等式: $<u,v>\ \le\ <u,u><v,v>$

    $<f(x),g(x)> = \int_a^bf(x)g(x)dx$

    • $R[a,b]$上的内积
    • 易证内积三条性质

  • 正交

    • 三角函数系的正交性，其基函数在同周期：”长度“保持一致

    定义1：权函数： 区间$[a,b]$上非负函数$\rho(x)$满足
    1.对任意非负整数，$\int^b_ax^n\rho(x)dx$存在

    2. 若区间上非负连续函数$f(x)$使得$<f(x),\rho(x)> \quad= 0$必有$f(x)$为零

    : 构造正交多项式

    常见：

    定义3：带权正交，带权正交函数系：TODO

    定义4：函数组的线性无关性：构成线性无关的函数系：区间上线性组合为零当仅当系数全为零

    （无穷维：任意有限的都线性无关

正交多项式性质

定理1： $\{ \phi_k(x) \}$是带权$\rho(x)$的正交函数系，则在区间$[a,b]$上线性无关

利用定义的第二条证明即可，注意证明无穷的线性无关需：$\forall m$阶

定理2：$\{ \phi_k(x) \}$是$k$次多项式，则$\{ \phi_k(x) \}$是$\rho(x)$的正交多项式系的充要条件是对任意次数不高于$k-1$的多项式$q(x)$总有$\int^b_a\rho(x)q(x)\phi_k(x) dx = 0$

• 证明：

  必要性，$\because$$j\not=k(j\le k-1)$,正交性：式子恒为零成立

  充分性：已知不等于时内积恒为零，且对于$k$阶多项式，$\phi_k(x) \not=0$于是对自己做内积一定大于零，即证

• 性质1：$\{ \phi_k(x) \}$ 是$[a,b]$，带权$\rho(x)$ 的正交多项式系，则$\{ c_k\phi_k(x) \}$也是，其中$c_k$非零常数

• 性质2: 区间$[a,b]$带权$\rho(x)$ 的正交多项式，最高次系数为1，唯一

  证明：存在两个，相减为零函数：相减后作为低次多项式后与原函数分别内积为零（定理2），于是相减后对自己内积为零，所以内积正定性为零函数

• 性质3：$\{ \phi_k(x) \}$ 是$[a,b]$，带权$\rho(x)$ 的正交多项式系, 正交多项式在开区间上有$k$个互异零点，

  • 必不全是偶数重根：易证
  • m个奇数重根，$m\ge k\Rightarrow m =k$
    • 证明TODO

• 性质4 $\{ \phi_k(x) \}$ 是$[a,b]$，带权$\rho(x)$ 的正交多项式系，则$k\ge1$,相邻项有如下递推式：

  证明略（课本略的）

$Gram-Schmidt$正交化

略略略

$\phi_{k+1}(x） = x^{k+1}-\sum_{j=0}^k\frac{(x^{k+1},\phi(x))}{\phi(x),\phi(x)}\phi(x)$

四种工程常见正交多项式

• $Legendre$

  • 权函数为1,$x\in[-1,1]$
  • $L_n(x) = \frac {1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$, 可根据首项调整系数

  性质

  • 正交关系：TODO

    • 点火公式

  • 奇偶性：奇次求导为奇函数

  • 三项递推关系

    $L_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{n+1}xL_n(x) -\frac n{n+1}L_{n-1}(x)$

    $xL_n(x)$ 由各项线性组合表示，等式两端做内积，由定理2只仅剩$n-1,n,n+1$三项，而$n$时是奇函数，对剩余做待定系数法即可

• $Chebychev$

  • 权函数：$\rho(x) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},x\in [-1,1]$

    $T_n(x) = cos(n\ arscos \ x)$

    性质

    • 正交关系

    • 三项递推关系;

      $T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$, $T_0 = 1, T_1 = x$

      证：$x=cos\theta$易得

• $Laguerre$

  • 权函数：$\rho(x) = e^{-x},x\in [0,+\infty]$
  • $U_n(x) = e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})$

• $Hermite$

  • 权函数：$\rho(x) = e^{-x},x\in [0,+\infty]$
  • $H_n(x) = (-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$