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第一章数学分析

$1.1$ 数列极限与函数极限}

1. 数列极限为有界量

$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a: \forall \varepsilon>0, \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, \text { s.t. } \forall n>N(\varepsilon),\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$

2. 数列极限为无穷

$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty: \forall M>0, \exists N(M) \in \mathbb{N}, s . t . \forall n>N(M),\left|a_{n}\right|>M$

3. 单调有界定理

​ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 极限存在，如果数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递增有上界，或单调递减有下界。

4. Cauchy收敛原理

​ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 极限存在，当且仅当

$\forall \varepsilon>0, \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, \text { s.t. } \forall n, p>N(\varepsilon),\left|a_{n+p}-a_{n}\right|<\varepsilon$

5. Stolz定理

​ 若 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 极限均为无穷，且 $b_{n}$ 严格递增趋于无穷，则

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}$

​ 若 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 极限均为零，且 $b_{n}$ 严格单调，则

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}$

6. 夹逼定理

​ 若 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} ＼mathrm{~ ， 则 ~}$

$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=A \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=A$

7. 平均收敛定理

$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=A$

8. 数列收敛则其所有子列均收敛}

若数列中某一子列发散，则数列发散，且

$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n p+i}=a(i=0,1, \cdots, p-1) \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$

9. 定积分求解数列极限

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(x) d x$

10. 其他实数相关定理 确界存在定理，闭区间套定理，列紧性定理，有限覆盖定理

11. 常用数列极限

$\begin{aligned} &\text { (1) } \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1 \\ &\text { (2) } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n}}{n !}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n !}{n^{n}}=0 \\ &\text { (3)e }=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !} \end{aligned}$

12. 函数极限在实数点处为有界量

$\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A: \forall \varepsilon>0, \exists \delta(\varepsilon)>0, s . t . \forall 0<|x-a|<\delta(\varepsilon),|f(x)-A|<\varepsilon$

13. 函数极限在实数点处为无穷

$\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty: \forall M>0, \exists \delta(M)>0, s . t . \forall 0<|x-a|<\delta(M),|f(x)|>M$

14. 函数极限在为无穷处为有界量

$\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A: \forall \varepsilon>0, \exists X(\varepsilon)>0, s . t . \forall|x|>X(\varepsilon),|f(x)-A|<\varepsilon$

15. 函数极限在无穷处为无穷

$\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty: \forall M>0, \exists X(M)>0, s . t . \forall|x|>X(M),|f(x)|>M$

16. 函数的连续性

$f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 处连续 : } \forall \varepsilon>0, \exists \delta(\varepsilon)>0, s . t . \forall\left|x-x_{0}\right|<\delta(\varepsilon),\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon$

​ 更一般地

$f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 处连续 }: \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$

17. 海涅定理

$\text { 若 } \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \text {, 则 } \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)$

18. 无穷小与有界

$\begin{aligned} &\text { (1)无穷小: } f\left(x_{0}\right)=o\left(g\left(x_{0}\right)\right) \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=0 \\ &(2) \text { 有界 }: f(x)=O(g(x)) \Leftrightarrow \exists M>0, s . t .\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| \leq M \end{aligned}$

19. 一致连续

​ 函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上一致连续，定义为

$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, s . t . \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in I,\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta \Rightarrow\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$

20. 间断点类型

​ 第一类间断点

$\begin{aligned} &(1) \text { 可去间断点 }: \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x) \neq f\left(x_{0}\right) \\ &(2) \text { 跳跃间断点 }: \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x) \end{aligned}$

​ 第二类间断点: $f\left(x_{0}^{-}\right)$与 $f\left(x_{0}^{+}\right)$至少一个不存在，例如无穷间断点和振荡间断点。

21. 连续函数的最值定理}

​ 连续函数在闭区间上必定能取到最大值和最小值。

22. 连续函数的零点存在定理}

$\text { 若 } f(x) \in C(a, b), f(a) f(b)<0 \text {, 则 } \exists \xi \in(a, b), f(\xi)=0$

23. 连续函数的介质定理}

$\text { 若 } f(x) \in C(a, b),[f(a)-A][f(b)-A]<0, \text { 则 } \exists \xi \in(a, b), f(\xi)=A$

24. 常用等价无穷小和极限运算}

$\begin{aligned} &\text { (1) } x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln (x+1) \sim e^{x}-1 \\ &\text { (2) } \frac{x^{2}}{2} \sim 1-\cos x \sim x-\ln (1+x) \sim e^{x}-1-x \\ &\text { (3) }(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x \\ &\text { (4) } \lim _{x \rightarrow x_{0}} u(x)^{v(x)}=\exp \left\{\lim _{x \rightarrow x_{0}}(v(x) \ln u(x))\right\}=\exp \left\{\lim _{x \rightarrow x_{0}} v(x)(u(x)-1)\right\} \\ &\text { (5) } e^{x+f(x)}-e^{f(x)}=e^{f(x)}\left(e^{x}-1\right) \sim x e^{f(x)} \end{aligned}$

$1.2$ 一元函数微分学

1. 函数可导

​ 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，当且仅当

$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} \text { 存在, 或当且仅当 } f^{\prime}\left(x_{0}^{-}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}^{+}\right)$

​ 一元函数可导一定连续， 连续不一定可导

2. 可导函数的单调性

$\begin{aligned} &\text { (1) } f(x) \text { 单调递增 } \Leftrightarrow f^{\prime}(x) \geq 0 \\ &(2) f(x) \text { 严格单调递增 } \Leftrightarrow f^{\prime}(x) \text { 除有限个点为零之外, 其余点 } f^{\prime}(x)>0 \end{aligned}$

3. 可导函数的驻点

$\text { 若 } f^{\prime}(x)=0 \text { ，则称 } x \text { 为函数 } f(x) \text { 的驻点 }$

4. 可导函数极值的第一充分条件

​ 函数 $f(x)$ 在包含 $x_{0}$ 某一邻域内连续，且存在一个左邻域内导函数非负、右邻域内导函数非正，则 $x_{0}$ 为函数的极大值点。若左邻域内导函数非正、右邻域内导函数非负，则 $x_{0}$ 为函数的极小值点。

5. 可导函数极值的第二充分条件

​ 设 $x_{0}$ 为 $f(x)$ 的一个驻点，且 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)<0$ ，则 $x_{0}$ 为函数的极大值点。若 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $x_{0}$ 为函数的极 小值点。

6. 凸函数

​ 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若 $I$ 中任意两点 $a, b$ 以及任意 $\lambda \in(0,1)$ ，都有

$f((1-\lambda) a+\lambda b) \leq(1-\lambda) f(a)+\lambda b$

​ 则称 $f(x)$ 为 $I$ 上的凸函数。若改变上述不等号的方向，则定义凹函数。

​ 若 $f(x)$ 在 $I$ 上二阶可导，则 $f(x)$ 是凸函数 $\Leftrightarrow \forall x \in I, f^{\prime \prime}(x) \geq 0$

7. 二阶可导函数的拐点

​ 若函数 $f(x)$ 在 $x$ 的两侧分布严格凸和严格凹，且 $f^{\prime \prime}(x)=0$ ，则称 $x$ 为函数 $f(x)$ 的拐点

8.Fermat引理

​ 若函数在极值点处可导，则其导数值为零。

9.Role定理

​ 若函数 $f(x) \in C[a, b] ，(a, b)$ 可导， $f(a)=f(b)$ ，则

$\exists \xi \in(a, b), s . t . f^{\prime}(\xi)=0$

10. Lagrange中值定理

​ 若函数 $f(x) \in C[a, b] ，(a, b)$ 可导，则

$\exists \xi \in(a, b), s . t . f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

11. Cauchy 中值定理

​ 若 $f(x), g(x) \in C[a, b] ，(a, b)$ 可导， $\forall x \in(a, b), g^{\prime}(x) \neq 0$ ，则

$\exists \xi \in(a, b), s . t . \frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

12. Jensen不等式

​ 若函数 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸函数，取 $\forall x_{1}, \cdots, x_{n} \in I, \lambda_{1}, \cdots, \lambda \in[0,1]$ ，满足 $\sum \lambda_{k}=1$ ，则有

$f\left(\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} x_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} f\left(x_{k}\right)$

13. 常用导数公式（极其简单的函数不再介绍）

​ 一阶求导公式

$\begin{aligned} &(1)(\tan x)^{\prime}=\sec ^{2} x \\ &(2)(\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x \\ &(3)(\sec x)^{\prime}=\tan x \sec x \\ &(4)(\csc x)^{\prime}=-\cot x \csc x \\ &(5)(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ &(6)(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ &\text { (7) }(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} \\ &\text { (8) }(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}} \\ &\text { (9) }\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a \\ &\text { (10) }\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} \end{aligned}$

$\begin{aligned} &(1)\left(x^{\alpha}\right)^{(n)}=\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1) x^{\alpha-n} \\ &(2)\left(e^{\lambda x}\right)^{(n)}=\lambda^{n} e^{\lambda x} \\ &(3)(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{x^{n}} \\ &(4)\left(\frac{1}{x+a}\right)^{(n)}=(-1)^{n} \frac{n !}{(x+a)^{n+1}} \\ &(5)(\sin k x)^{(n)}=k^{n} \sin \left(k x+\frac{n}{2} \pi\right) \\ &(6)(\cos k x)^{(n)}=k^{n} \cos \left(k x+\frac{n}{2} \pi\right) \end{aligned}$

14. Leibniz求导公式

$[f(x) g(x)]^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x)$

15. 带Peano余项的Taylor公式

​ 若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处具有 $n$ 阶导数，则在 $x_{0}$ 附近有

$f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}\left(x_{0}\right)}{k !}\left(x-x_{0}\right)^{k}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{k}\right)$

16. Maclaurin公式

​ 带 Peano余项的Taylor公式中 $x_{0}=0$ 的特殊形式

17. 带Lagrange余项的Taylor公式

​ 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 具有连续 $n$ 阶导数，在 $(a, b)$ 有 $n+1$ 阶导数，则 $\forall x, x_{0} \in[a, b] ， \exists \xi \in\left(x, x_{0}\right)$ 或 $\left(x_{0}, x\right)$ ，有

$f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}\left(x_{0}\right)}{k !}\left(x-x_{0}\right)^{k}+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}$

18. 常用函数的Taylor展开

​ 需要考虑收敛域，参照1.6级数部分

19. Taylor 展开式的另一种构造方法

$f(x \pm h)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(x)}{k !}(\pm h)^{k}+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}(\pm h)^{n+1}$

$1.3$ 一元函数积分学

1. 不定积分

​ 对函数 $f(x)$ ，若存在函数 $F(x)$ ，使得在区间 $I$ 上有 $F^{\prime}(x)=f(x)$ ，则 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $I$ 上的原函数。 记 $\int f(x) d x$ 为全体原函数，表示一个函数族

$\int f(x) d x=\int d F(x)=F(x)+C$

​ 称 $F(x)+C$ 为函数 $f(x)$ 的不定积分。

2. 常用积分公式 (求导部分出现过的不再介绍)

   (1) $\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$

​ (2) $\int \csc x d x=\ln |\csc x-\cot x|+C$

​ (3) $\int \sec x d x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

​ (4) $\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C$

​ (5) $\int \cot x d x=\ln |\sin x|+C$

​ (6) $\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C$

​ (7) $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x=\arcsin \frac{x}{a}+C$

​ (8) $\int \frac{1}{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C$

​ (9) $\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} d x=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a-x}{a+x}\right|+C$

​ (10) $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} d x=\ln \left|x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}\right|+C$

​ (11) $\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\sqrt{1+x^{2}}+C$

3. 积分求解常用换元方法}

​ 三角换元、倒代换、有理分式拆分、凑微分（技巧性最强）、奇偶性构造（定积分）

4. 定积分的基本性质}

$\begin{aligned} &\text { (1)若 } f(x) \geq g(x) \text {, 则 } \int_{a}^{b} f(x) d x \geq \int_{a}^{b} g(x) d x \\ &(2) \text { 若 } m \leq f(x) \leq M, \text { 则 } m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a) \end{aligned}$

5. 第一积分中值定理}

​ 若函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上不变号，则

$\exists \xi \in[a, b], s . t . \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) d x$

​ 特别地，若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则

$\exists \xi \in[a, b], s . t . \int_{a}^{b} f(x) d x=f(\xi)(b-a)$

6. 第二积分中值定理}

​ 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调递减，且 $g(x) \geq 0$ ，则

$\exists \xi \in[a, b], s . t . \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) d x$

​ 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调递增，且 $g(x) \geq 0$ ，则

$\exists \eta \in[a, b], s . t . \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=g(a) \int_{\eta}^{b} f(x) d x$

7. 第三积分中值定理}

​ 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调，则

$\exists \xi \in[a, b], s . t . \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) d x+g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) d x$

8. 微积分基本定理: Newton - Leibniz公式

​ 若 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数，则

$\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)$

9. 变上限函数求导公式

$\frac{d}{d x} \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) d t=f[u(x)] u^{\prime}(x)-f[v(x)] v^{\prime}(x)$

10. 对称区间的定积分

​ 若 $f(x)$ 在对称区间 $[-a, a]$ 上可积，则

$\begin{aligned} &\text { 若 } f(x) \text { 是偶函数, 则 } \int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x \\ &\text { 若 } f(x) \text { 是奇函数, 则 } \int_{-a}^{a} f(x) d x=0 \end{aligned}$

11. 定积分的几何应用

​ 平面图形的面积

$\begin{aligned} &\text { 直角坐标形式 }: \int_{a}^{b} f(x) d x,(x, y) \in[a, b] \times[0, f(x)] \\ &\text { 极坐标形式 : } \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} r^{2}(\theta) d \theta,(r, \theta) \in[0, r(\theta)] \times[\alpha, \beta] \\ &\text { 参数形式 : } \int_{u}^{v} y(t) d x(t),(x, y) \in[x(u), x(v)] \times[0, y(t)] \end{aligned}$

​ 曲线 $y=f(x)$ 绕 $y$ 轴旋转得到的旋转体体积

$\begin{aligned} &\text { 直角坐标形式: } \int_{a}^{b} 2 \pi f(x) x d x \\ &\text { 参数形式 : } \int_{u}^{v} 2 \pi x(t) y(t) d x(t) \end{aligned}$

​ 曲线 $y=f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转得到的旋转曲面面积

$\begin{aligned} &\text { 直角坐标形式 }: 2 \pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x \\ &\text { 参数形式 }: 2 \pi \int_{u}^{v} y(t) \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x(t) \end{aligned}$

​ 平面曲线的弧长公式

$\begin{aligned} &\text { 直角坐标形式 : } \int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}} d x=\int_{a}^{b} \sqrt{(d x)^{2}+(d y)} \\ &\text { 参数形式 : } \int_{u}^{v} \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t \\ &\text { 极坐标形式 : } \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[r(\theta)]^{2}+\left[r^{\prime}(\theta)\right]^{2}} d \theta \end{aligned}$

12. 曲率公式

$K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s}=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

​ 曲率半径

$R=\frac{1}{K}=\frac{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left|y^{\prime \prime}\right|}$

13. 无穷积分

$\int_{a}^{\infty} f(x) d x=\lim _{A \rightarrow \infty} \int_{a}^{A} f(x) d x$

14. 绝对收敛

$\text { 若 } \int_{a}^{\infty}|f(x)| d x \text { 收敛, 则称 } \int_{a}^{\infty} f(x) d x \text { 绝对收敛, 且 } \int_{a}^{\infty} f(x) d x \text { 收敛。 }$

15. Cauchy收敛原理

​ $\int_{a}^{\infty} f(x) d x$ 收敛的充要条件是

$\forall \varepsilon>0, \exists X(\varepsilon) \in \mathbb{R}, s . t . \forall A_{2}>A_{1}>X,\left|\int_{A_{1}}^{A_{2}} f(x) d x\right|<\varepsilon$

16. 比较判别法

​ 设 $f(x), g(x)$ 是 $[a,+\infty)$ 上的非负函数，且有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l$ ，则

$\begin{aligned} &\text { (1)若 } l<+\infty \text {, 则级数 } \int_{a}^{+\infty} g(x) d x \text { 收敛时, } \int_{a}^{+\infty} f(x) d x \text { 收敛 } \\ &\text { (2)若 } l>0 \text {, 则级数 } \int_{a}^{+\infty} g(x) d x \text { 发散时, } \int_{a}^{+\infty} f(x) d x \text { 发散 } \end{aligned}$

17. $P$ 级数敛散性讨论

$\begin{aligned} &\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} d x\left\{\begin{array}{l} \text { 发散, } p \leq 1 \\ \text { 收敛, } p>1 \end{array}\right. \\ &\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} d x\left\{\begin{array}{l} \text { 收敛, } p<1 \\ \text { 发散, } p \geq 1 \end{array}\right. \end{aligned}$

18. Dirichlet判别法

​ 若区间 $[a,+\infty)$ 上定义的函数 $f(x), g(x)$ 满足

$\begin{aligned} &(1) F(A)=\int_{a}^{A} f(x) d x \text { 在 }[a,+\infty) \text { 有界 } \\ &(2) g(x) \text { 在 }[a,+\infty) \text { 单调, 且 } \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0 \end{aligned}$

​ 则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) d x$ 收敛。

19. Abel判别法

​ 若区间 $[a,+\infty)$ 上定义的函数 $f(x), g(x)$ 满足

$\begin{aligned} &\text { (1)无穷级数 } \int_{a}^{+\infty} f(x) d x \text { 收敛 } \\ &(2) g(x) \text { 在 }[a,+\infty) \text { 单调有界 } \end{aligned}$

​ 则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) d x$ 收敛。

20. 瑕积分

​ 若 $a$ 为函数 $f(x)$ 的暇点，则

$\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\eta \rightarrow 0^{+}} \int_{a+\eta}^{b} f(x) d x$

​ 瑕积分敛散性判别法与无穷积分判别法类似。

$1.4$ 多元函数微分学

1. $\mathbb{R}^{n}$ 中的点列极限

​ 设 $\left\{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{k}}\right\} \in \mathbb{R}^{n}, \boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^{n}$ ，则点列 $\left\{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{k}}\right\}$ 极限为 $\boldsymbol{a}$ 定义为

$\lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{a}: \forall \varepsilon>0, \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, s . t . \forall k>N,\left\|\boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{a}\right\|<\varepsilon$

​ 点列收敛于一点，等价于点列各分量收敛于该点各分量

$\lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{a} \Leftrightarrow \lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{k}}^{(i)}=\boldsymbol{a}^{(i)}, i=1,2, \cdots, n$

2. 多元函数的极限

​ 设 $D \in \mathbb{R}^{n}, f: D \rightarrow \mathbb{R}$ ，则函数于点 $\boldsymbol{x}_{0}$ 处收敛于 $A$ 定义为

$\lim _{\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{x}_{0}} f(\boldsymbol{x})=A: \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 . s . t . \forall \boldsymbol{x} \in\left\{\boldsymbol{x} \in D \mid 0<\left\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}\right\|<\delta\right\},|f(\boldsymbol{x})-A|<\varepsilon$

3. 多元函数的Heine定理

$\text { 若 } \lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{0} \text {, 则 } \lim _{k \rightarrow \infty} f(\boldsymbol{x})=\lim _{\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{o}}} f\left(\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}\right)=A$

4. 多元函数的Cauchy收敛准则

$\begin{gathered} \text { 极限 } \lim _{k \rightarrow \infty} f(\boldsymbol{x}) \text { 存在, 当且仅当对 } \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, s . t . \forall \boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime \prime} \in D \text {, 满足 : } \\ 0<\left\|\boldsymbol{x}^{\prime}-\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}\right\|,\left\|\boldsymbol{x}^{\prime \prime}-\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}\right\|<\delta \Rightarrow\left|f\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)-f\left(\boldsymbol{x}^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon \end{gathered}$

5. 多元函数的连续性

$f(\boldsymbol{x}) \text { 在 } \boldsymbol{x}_{0} \text { 处连续 } \Leftrightarrow \lim _{\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{x}_{0}} f(\boldsymbol{x})=f\left(\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}\right)$

6. 多元函数的最值定理}

​ 在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数 $f$ 在 $D$ 上有界，且至少取得它的最大值和最小值各一次。

7. 多元函数的介值定理}

​ 在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数，如果在 $D$ 上取得两个不同的函数值，则它在 $D$ 上取得介于这两个 函数值之间的任何值至少一次。

8. 多元函数的偏导数}

​ 若关于 $x$ 的一元函数 $f\left(x, y_{0}\right)$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $z=f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处对 $x_{0}$ 的偏导数存在，即

$\frac{\partial f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\partial x}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+t, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}$

9. 多元函数的全微分}

​ 若多元函数 $z=f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内有定义，且 $f(x, y)$ 在该点处的全增量可表示为

$\Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho), \rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$

​ 则称 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，并记 $z$ 在该点处的全微分为 $d z=A \Delta x+B \Delta y$ 。 函数可微的判断依据：函数 $z=f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，当且仅当

$\lim _{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x-f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\rho}=0$

10. 若函数 $z=f(x, y)$ 的两个偏导数连续，则函数可微，且

$d z=\frac{\partial z}{\partial x} d x+\frac{\partial z}{\partial y} d y$

11. 方向导数的定义

​ 函数 $z=f(x, y)$ 在一点沿某一方向 $\vec{l}$ 的变化率，称为方向导数，记为

$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=\lim _{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)}{\rho}$

2. 方向导数与梯度的关系}

​ 若方向 $\vec{l}$ 的单位向量为 $(\cos \alpha, \cos \beta)$ ，函数的梯度为 $\nabla f(x, y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$ ，则

$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=\frac{\partial f}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial f}{\partial y} \cos \beta=(\cos \alpha, \cos \beta) \cdot\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$

3. 复合函数求导的链式法则}

​ 设 $m$ 元函数 $f\left(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{m}\right)$ 在 $\left(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{m}\right)$ 可微， $u_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), k=1,2, \cdots, m$ 均为 $n$ 元 函数且在 $\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 可微，则

$\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=\sum_{k=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial u_{k}} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{i}}, i=1,2, \cdots, n$

14. 高阶偏导数

$\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=f_{y x}(x, y)$

15. 多元微分中值定理}

​ 设 $D \subset \mathbb{R}^{n}$ 是凸区域， $f: D \rightarrow \mathbb{R}^{\text {可微，则 }}$

$\forall \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in D, \exists \boldsymbol{\xi} \in D, s . t . f(\boldsymbol{b})-f(\boldsymbol{a})=[\nabla f(\boldsymbol{\xi})]^{T}(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})$

16. 二元函数的Taylor公式

$f(x, y)=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}\left(\left(x-x_{0}\right) \frac{\partial}{\partial x}+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial}{\partial y}\right)^{k} f\left(x_{0}, y_{0}\right)+R_{k}$

​ $P e a n o$ 余项形式为

$R_{k}=o\left(\left\|\left(x-x_{0}, y-y_{0}\right)\right\|^{k}\right)$

​ Lagrange余项形式为

$R_{k}=\frac{1}{(k+1) !}\left(\left(x-x_{0}\right) \frac{\partial}{\partial x}+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial}{\partial y}\right)^{k+1} f\left(x_{0}+\theta\left(x-x_{0}\right), y_{0}+\theta\left(y-y_{0}\right)\right), \theta \in(0,1)$

17. 曲线的切线方程与法平面

​ 曲线的参数方程

$\begin{aligned} &\text { 若曲线方程为 }\left\{\begin{array}{l} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{array} \text { 则在曲线上 } t=t_{0} \text { 对应的点 }\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right. \text { 处不 } \\ &\text { 切线 }: \frac{x-x_{0}}{x^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{y^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{z^{\prime}\left(t_{0}\right)} \\ &\text { 切向量 }: \overrightarrow{\boldsymbol{T}}=\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) \\ &\text { 法平面 }: x^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+z^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0 \end{aligned}$

​ 曲线的一般方程

$\begin{aligned} &\text { 若曲线方程为 }\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array} \text {,则在曲线上一点 }\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right. \text { 点处有 : } \\ &\left\{\begin{array}{l} F_{x} d x+F_{y} d y+F_{z} d z=0 \\ G_{x} d x+G_{y} d y+G_{z} d z=0 \end{array}\right. \\ &\text { 切线 }: \frac{x-x_{0}}{d x}=\frac{y-y_{0}}{d y}=\frac{z-z_{0}}{d z} \\ &\text { 切向量 }: \overrightarrow{\boldsymbol{T}}=(d x, d y, d z) \\ &\text { 法平面 }:\left(x-x_{0}\right) d x+\left(y-y_{0}\right) d y+\left(z-z_{0}\right) d z=0 \\ &\text { 其中 }(d x, d y, d z) \text { 需要根据 } \nabla F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), \nabla G\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \text { 解出比例关系 } \end{aligned}$

18. 曲面的切平面方程与法线方程

$\begin{aligned} &\text { 若曲面方程为 } F(x, y, z)=0 \text {, 则在曲面上一点 }\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \text { 处有 : } \\ &\text { 切平面 }: F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0 \\ &\text { 法向量 }: \overrightarrow{\boldsymbol{n}}=\nabla F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \\ &\text { 法线 }: \frac{x-x_{0}}{F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} \end{aligned}$

19. 多元函数的极值

​ 极值必要条件

$\text { 若 } \overrightarrow{\boldsymbol{a}} \text { 为 } f \text { 的极值点, 则 } \overrightarrow{\boldsymbol{a}} \text { 为 } f \text { 的驻点, 即 } \nabla f(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})=\overrightarrow{\mathbf{0}}$

1极值充分条件

​ 设开集 $D \subset \mathbb{R}^{n}, f: D \rightarrow \mathbb{R}$ 有二阶连续偏导数, 且 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}$ 为 $f$ 的驻点, 则 :
​ (1)若 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}$ 处的 Hessen矩阵 $\nabla^{2} f(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})$ 正(负) 定, 则 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}$ 为 $f$ 的严格极小 (大)值点
​ (2) 若 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}$ 处的Hessen矩阵 $\nabla^{2} f(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})$ 为不定方阵, 则 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}$ 不是 $f$ 的极值点

二元函数的极值分析}

若二元函数 $f(x, y)$ 有二阶连续偏导数, 记 $A=f_{x x}, B=f_{x y}, C=f_{y y}$, 则 :

(1) 若 $A C-B^{2}>0$, 则 $f$ 在 $A>0$ 时有极小值, $A<0$ 时有极大值

$(2)$ 若 $A C-B^{2}<0$, 则 $f$ 没有极值

(3) 若 $A C-B^{2}=0$, 则 $f$ 的极值情况不确定

Lagrange乘子法}

若 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$, 则目标函数 $f(\boldsymbol{x})$ 和 $m$ 个约束条件 $h_{i}(\boldsymbol{x})=0(i=1, \cdots, m)$ 可以构成 Lagrange函数

$L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\lambda})=f(\boldsymbol{x})+\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} h_{i}(\boldsymbol{x})$, 其中 $\boldsymbol{\lambda}=\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m}\right) \in \mathbb{R}^{m}$

$\left\{\begin{array}{l}\nabla L_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\lambda})=0 \\ \nabla L_{\boldsymbol{\lambda}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\lambda})=0\end{array}\right.$ 的解中的 $\boldsymbol{x}$ 部分即为可能的极值点

$1.5$ 多元函数积分学

1. 二重积分的中值定理

设 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，区域 $D$ 的面积为 $\sigma$ ，则

$\exists(\xi, \eta) \in D, s . t . \iint_{D} f(x, y) d \sigma=f(\xi, \eta) \sigma$

2. 二重积分的一般换元

$\iint_{D_{x y}} f(x, y) d x d y=\iint_{D_{u v}} f(x(u, v), y(u, v))|J| d u d v$

其中 $J a c o b i$ 矩阵的行列式 $|J|=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|=\left|\begin{array}{ll}x_{u} & x_{v} \\ y_{u} & y_{v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y}\end{array}\right|^{-1}$

3. 二重积分的极坐标变换

$\left\{\begin{array}{l} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \end{array} \Rightarrow|J|=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right|=r\right.$

更一般地

$\left\{\begin{array}{l} x=x_{0}+a r \cos \theta \\ y=y_{0}+b r \sin \theta \end{array} \Rightarrow|J|=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right|=a b r\right.$

4. 三重积分的一般换元

$\iiint_{\Omega_{x y z}} f(x, y, z) d x d y d z=\iiint_{\Omega_{u v w}} f(x, y, z)|J| d u d v d w$

其中 $J a c o b i$ 矩阵的行列式 $|J|=\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\right|=\left|\begin{array}{lll}x_{u} & x_{v} & x_{w} \\ y_{u} & y_{v} & y_{w} \\ z_{u} & z_{v} & z_{w}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}u_{x} & u_{y} & u_{z} \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} \\ w_{x} & w_{y} & w_{z}\end{array}\right|^{-1}$

5. 三重积分的柱坐标变换

$\left\{\begin{array}{l} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \Rightarrow|J|=\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}\right|=r \\ z=z \end{array}\right.$

更一般地

$\left\{\begin{array}{l} x=x_{0}+a r \cos \theta \\ y=y_{0}+b r \sin \theta \\ z=z_{0}+z \end{array} \Rightarrow|J|=\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}\right|=a b r\right.$

6. 三重积分的球坐标变换

   $\left\{\begin{array}{l} x= r\sin\varphi \cos \theta \\ y=r\sin\varphi\sin \theta \\ z=r \sin\theta \end{array} \Rightarrow|J|=\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}\right|=r^2sin\varphi\right.$

更一般地

$\left\{\begin{array}{l} x=x_{0}+a r \sin \varphi \cos \theta \\ y=y_{0}+b r \sin \varphi \sin \theta \\ z=z_{0}+c r \cos \varphi \end{array} \Rightarrow|J|=\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}\right|=a b c r^{2} \sin \varphi\right.$

7. 空间曲面的面积

$z=f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的曲面面积为

$S=\iint_{S} d S=\iint_{D} \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} d x d y$

8. 质心坐标

L以一维为例

$\bar{x}=\frac{\iint x \rho(x, y) d x d y}{\iint \rho(x, y) d x d y}, \bar{y}=\frac{\iint y \rho(x, y) d x d y}{\iint \rho(x, y) d x d y}$

9. 转动惯量

$J_{l}=\iint_{D} r^{2}(x, y) \rho(x, y) d x d y$

10. 万有引力分量

$F_{i}=\iiint_{\Omega} \frac{m \rho(x, y, z)\left(i-i_{0}\right)}{r^{3}} d x d y d z, i \in\{x, y, z\}$

11. 第一类曲线积分

设曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}, t \in[\alpha, \beta]\right.$ ，则 $f(x, y)$ 沿 $L$ 的积分为

$\int_{L} f(x, y) d s=\int_{\alpha}^{\beta} f(x(t), y(t)) \sqrt{x_{t}^{2}+y_{t}^{2}} d t$

12. 第二类曲线积分

设曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}, t \in[\alpha, \beta]\right.$ ，则 $\vec{F}(x, y)$ 沿 $L$ 的积分为

$\int_{L} \vec{F}(x, y) d \vec{s}=\int_{L} P(x, y) d x+Q(x, y) d y$

进一步

$\int_{L} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\int_{\alpha}^{\beta}\left[P(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)\right] d t$

13. 第一类曲线积分与第二类曲线积分互相转化

$\text { 若 }(\cos \alpha, \cos \beta) \text { 为沿曲线方向的单位切向量, 则 }\left\{\begin{array}{l} d x=d s \cos \alpha \\ d y=d s \cos \beta \end{array}\right.$

14. Green公式

设区域 $D$ 是由分段光滑的曲线 $L$ 围成，且 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导，则

$\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{L} P d x+Q d y$

特别地，闭合曲线 $L$ 围成的面积为

$S=\iint_{D} d x d y=\oint_{L} x d y=\frac{1}{2} \oint_{L} x d y-y d x$

15. 平面曲线积分与路径无关

设 $D$ 是单连通闭区域, 且 $P, Q$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数, 则在区域 $D$ 内以下四个条件等价：
(1) $\int_{L} P d x+Q d y$ 积分值与路径无关
(2)任意一条光滑闭曲线 $L$, 有 $\oint_{L} P d x+Q d y=0$
(3)存在可微函数 $u(x, y)$, 使得 $d u=P d x+Q d y$
(4) $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

16. 第一类曲面积分

设曲面 $\Sigma: z=z(x, y)$ ，函数 $f(x, y, z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上的积分为

$\iint_{\Sigma} f(x, y, z) d S=\iint_{D_{x y}} f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} d x d y$

17. 第一类曲面积分换元公式

    若曲面$\sum$ 以参数形式给出或还原为参数形式$\left\{\begin{array}{l} x= x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{array} \right.$ ,则$f(x,y,z)$在曲面$\sum$上的积分为

$\iint_{\Sigma} f(x, y, z) d S=\iint_{D_{u v}} f(x, y, z) \sqrt{E G-F^{2}} d u d v$

其中 $E, F, G$ 称为曲面 $\Sigma$ 的第一基本量: $\left\{\begin{array}{l}E=x_{u}^{2}+y_{u}^{2}+z_{u}^{2} \\ F=x_{u} x_{v}+y_{u} y_{v}+z_{u} z_{v} \\ G=x_{v}^{2}+y_{v}^{2}+z_{v}^{2}\end{array}\right.$

18. 第二类曲面积分

曲面向上、向右、向前时为正方向

$\iint_{L} \vec{F}(x, y, z) d \vec{S}=\int_{L} P d y d z+Q d z d x+R d x d y$

19. 第一类曲面积分与第二类曲面积分互相转化

$\text { 若 }(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) \text { 为曲面方向的单位法向量, 则 }\left\{\begin{array}{l} d y d z=d S \cos \alpha \\ d z d x=d S \cos \beta \\ d x d y=d S \cos \gamma \end{array}\right.$

以上关系也用于同一积分在不同投影曲面之间的相互转化

20. Gauss公式

    设函数$P,Q,R$在封闭区域$\Omega$内 一阶连续偏导数，$\sum$ 为区域$\Omega$的边界并取外侧，则

$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) d x d y d z=\int_{\Sigma} P d y d z+Q d z d x+R d x d y$

21. Stokes公式

设函数 $P, Q, R$ 在曲面 $\Sigma$ 内有一阶连续偏导， $\Gamma$ 为曲面 $\Sigma$ 的正向边界，则

$\iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) d y d z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) d z d x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{\Gamma} P d x+Q d y+R d z$

或者记为行列式形式

$\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc} d y d z & d z d x & d x d y \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right|=\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| d S=\oint_{\Gamma} P d x+Q d y+R d z$

22. 空间曲线积分与路径无关

设 $\Omega$ 是单连通闭区域, 且 $P, Q, R$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数, 则在区域 $内$ 内下四个条件等价：

(1) $\int_{L} P d x+Q d y+R d z$ 积分值与路径无关

(2)任意一条光滑闭曲线 $L$, 有 $\oint_{L} P d x+Q d y+R d z=0$

(3)存在可微函数 $u(x, y, z)$, 使得 $d u=P d x+Q d y+R d z$

(4) $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}, \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}$

23. 场论初步

Hamilton算子

$\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)$

梯度、散度与旋度

若定义数量场 $f=f(x, y, z)$ 和向量场 $\vec{F}=(P, Q, R)$, 则有:

从数量场到向量场的梯度 $: \operatorname{grad}(f)=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

从向量场到数量场的散度 $: \operatorname{div}(f)=\nabla \cdot f=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}$

从向量场到向量场的旋度 $: \operatorname{rot}(\vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$

有势场、保守场与无旋场 对于向量场 $\vec{F}=(P, Q, R)$, 定义如下三种性质 :

(1) $\vec{F}$ 是有势场 $\Leftrightarrow$ 存在数量场 $u(x, y, z)$, 使得 $\operatorname{grad}(u)=\vec{F}$

(2) $\vec{F}$ 是保守场 $\Leftrightarrow$ 对任意闭曲线 $\Gamma$, 有 $\oint_{\Gamma} P d x+Q d y+R d z=0$

(3) $\vec{F}$ 是无旋场 $\Leftrightarrow$ 对空间中任意一点, 有 $\operatorname{rot}(\vec{F})=0$

且以上三种定义在数学上等价

4. 场论与积分公式

Green公式和Stokes公式

$\iint_{\Sigma} \operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot d \vec{S}=\oint_{\Gamma} \vec{F} \cdot d \vec{s}$

Gauss公式

$\iiint_{\Omega} \operatorname{div}(\vec{F}) d \Omega=\oiiint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S}$

$1.6$ 数项级数与函数项级数}

1. 无穷级数收敛的必要条件

$\text { 若 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 收敛, 则 } \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$

2. 正项级数叫敛的充要条件

$\text { 正向级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{n} \geq 0\right) \text { 收敛 } \Leftrightarrow \text { 部分和序列 }\left\{S_{n} \mid S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right\} \text { 有界 }$

3. 正项级数的比较判别法}

若 $\exists N>0, n>N$ 时， 满足 $b_{n} \geq a_{n} \geq 0$ ，则

$\begin{aligned} &\text { (1) } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 发散 } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { 发散 } \\ &\text { (2) } \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { 收敛 } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 收敛 } \end{aligned}$

若 $\exists N>0, n>N$ 时，满足 $a_{n}, b_{n} \geq 0$ ，则比较判别法极限形式成立

$\begin{aligned} &\text { (1)若 } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}} \geq q>0 \text {, 则 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 发散 } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { 发散 } \\ &\text { (2)若 } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} \leq q<\infty, \text { 则 } \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { 收敛 } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 收敛 } \end{aligned}$

4. 比较判别法常用参考级数

$\begin{aligned} &\text { (1)等比级数 : } \sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\left\{\begin{array}{l} |q|<1 \text { 时收敛 } \\ |q| \geq 1 \text { 时发散 } \end{array}\right. \\ &\text { (2)P级数 : } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{array}{l} p>1 \text { 时收敛 } \\ p \leq 1 \text { 时发散 } \end{array}\right. \\ &\text { (3)广义 } P \text { 级数 : } \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{p} n}, \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n \ln ^{2} \ln ^{p} n} \text { 等, 收敛条件同上 } \end{aligned}$

5. 正项级数的Cauchy判别法（根值判别法)

6. 正项级数的 $D^{\prime}$ Alembert判别法 (比值判别法)

$\begin{aligned} &\text { 记 } q=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \text {, 则级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left\{\begin{array}{l} \text { 收敛, } q<1 \\ \text { 发散, } q>1 \\ \text { 判别法失效, } q=1 \end{array}\right. \\ &\text { 若取 } \bar{q}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}, \text { 结论依然成立 } \end{aligned}$

7. 正项级数的Cauchy积分判别法

设 $x \geq 1, f(x) \geq 0$ 且单调递减，则

$\text { 无穷级数 } \sum_{n=1}^{\infty} f(n) \text { 与广义积分 } \int_{1}^{+\infty} f(x) d x \text { 同敛散 }$

8. 一般项级数的绝对收敛判别法

$\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right| \text { 收敛 } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 收敛 }$

9. 交错级数的Leibniz判别法

$\text { 定义交错级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}\left(u_{n}>0\right)$

若 $u_{n}$ 单调递减趋于零，则该交错级数称为 Leibniz级数，且收敛

10. 一般项级数的Dirichlet判别法

如果以下两个条件同时成立：

(1)数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的部分和 $\left\{S_{n} \mid S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right\}$ 有界

(2)数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是单调数列, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=0$

那么级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛

11. 一般项级数的 Abel判别法

$\begin{aligned} & \text { 记 } q=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}} \text {, 则级数 } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left\{\begin{array}{l}\text { 收敛, } q<1 \\\text { 发散, } q>1 \\\text { 判别法失效, } q=1\end{array}\right. \\ & \text { 若取 } \bar{q}=\overline{\lim _{n \rightarrow \infty}} \sqrt[n]{a_{n}} \text {, 结论依然成立 } \end{aligned}$

如果以下两个条件同时成立：
(1)级数 $\sum_{n=1}^{n} a_{n}$ 收敛
(2)数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 单调有界
那么级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫

12. 幂级数的 $A b e l$ 定理
    对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 有以下两条结论成立 :
    (1)若有某点 $x_{0} \neq 0$ 使得 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x_{0}^{n}$ 收敛, 则当 $|x|<\left|x_{0}\right|$ 时, $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 绝对收敛
    (2)若有某点 $x_{1} \neq 0$ 使得 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x_{1}^{n}$ 发散, 则当 $|x|>\left|x_{1}\right|$ 时, $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 发散

13. 幂级数的收敛半径

$\text { 幂级数 } \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \text { 的收敛半径为 }: R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \text { 或 } R=\left(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}\right)^{-1}$

收敛域需要在 $x \in\{R,-R\}$ 处单独讨论

14. 幂级数的换序运算

幂级数求导与求和换序

$\begin{aligned} & \sum_{n=0}^{\infty} f(x)(n+1) x^{n} \\ =& f(x)\left[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1}\right]^{\prime} \\ =& \frac{f(x)}{(x-1)^{2}} \end{aligned}$

幂级数积分与求和换序

$\begin{aligned} & \sum_{n=0}^{\infty} f(x) \frac{x^{n+1}}{n+1} \\ =& f(x) \int_{0}^{x}\left[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right] d x \\ =&-f(x) \ln (1-x) \end{aligned}$

15. 函数展开成Taylor级数

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}$

特别地，当 $x_{0}=0$ 时，上式称为 Maclaurin级数

16. 常用泰勒级数及其收敛域 (1) $\sin x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}, x \in(-\infty,+\infty)$

(2) $\cos x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n) !}, x \in(-\infty,+\infty)$

$(3) e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}, x \in(-\infty,+\infty)$

(4) $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, x \in(-1,1)$

(5) $\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}, x \in(-1,1)$

(6) $\frac{1}{(1-x)^{k}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c}n+k-1 \\ n\end{array}\right) x^{n}, x \in(-1,1)$

(7) $\ln (1+x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n+1}}{(n+1) !}, x \in(-1,1]$

(8) $\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{2 n+1}, x \in(-1,1)$

(9) $\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}, x \in(-\infty,+\infty)$

$(10)(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}, x \in\left\{\begin{array}{l}(-1,1), \alpha \leq-1 \\ (-1,1],-1<\alpha<1 \\ {[-1,1], \alpha>1}\end{array}\right.$

7. 周期函数的Fourier级数}

周期为 $2 \pi$ 的函数可以展开为如下形式的Fourier级数

$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$

其中

$\begin{aligned} &a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x d x, n=0,1,2 \cdots \\ &b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x d x, n=1,2,3 \cdots \end{aligned}$

周期函数为 $2 l$ 的函数可以展开为如下形式的Fourier级数

$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{l}+b_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}\right)$

其中

$\begin{aligned} &a_{n}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} d x, n=0,1,2 \cdots \\ &b_{n}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} d x, n=1,2,3 \cdots \end{aligned}$

18. Fourier级数的Dirichlet收敛定理

对于周期为 $2 \pi$ 的周期函数 $f(x)$ ，展开为Fourier级数时，有

$\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}$

19. 奇函数、偶函数、非周期函数进行Fourier展开

需要将非周期函数 $f(x)$ 周期延拓为 $F(x)$ ：可进行奇延拓或偶延拓，其中奇延拓需保证 $F(0)=0$

奇函数的Fourier级数只含正弦部分，又称正弦级数，以周期为 $2 \pi$ 的函数为例，有

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n x, b_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin n x d x$

偶函数的Fourier级数只含余弦部分，又称余弦级数，以周期为 $2 \pi$ 的函数为例，有

$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x, a_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos n x d x$

20. Fourier级数相关的数项级数

$\begin{aligned} &\text { (1) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} \\ &\text { (2) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2}}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{12} \\ &\text { (3) } \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8} \end{aligned}$

$1.7$ 常微分方程}

1. 变量分离方程

$\frac{d y}{d x}=\frac{f(x)}{g(y)} \Rightarrow \int g(y) d y=\int f(x) d x+C$

2. 齐次微分方程

$\frac{d y}{d x}=f\left(\frac{y}{x}\right)(\text { 令 } y=u x) \Rightarrow \int \frac{d u}{f(u)-u}=\int \frac{d x}{x}+C$

3. 文次微分方程的推广

$\begin{aligned} &\frac{d y}{d x}=f\left(\frac{a x+b y+c}{m x+n y+l}\right) \\ &\text { (1) }\left|\begin{array}{ll} a & b \\ m & n \end{array}\right| \neq 0, \text { 令 }\left\{\begin{array}{l} X=x-x_{0} \\ Y=y-y_{0} \\ Y=U X \end{array} \Rightarrow \frac{d Y}{d X}=f\left(\frac{a X+b Y}{m X+n Y}\right)=g\left(\frac{Y}{X}\right)\right. \\ &(2)\left|\begin{array}{ll} a & b \\ m & n \end{array}\right|=0, \text { 令 } u=a x+b y \Rightarrow \frac{d u}{d x}=b f\left(\frac{u+c}{\frac{m}{a} u+l}\right)+a=g(u) \end{aligned}$

4. 一阶线性微分方程

$\begin{aligned} &\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x) \\ &\text { 基础解系 : } f(x)=e^{\int-P(x) d x} \\ &\text { 齐次通解形式 : } y=C f(x) \\ &\text { 非齐次通解形式 : } y=C(x) f(x) \\ &\text { 求解 } C(x): C^{\prime}(x) f(x)=Q(x) \\ &\text { 非齐次通解公式: } y=e^{\int-P(x) d x}\left(\int Q(x) e^{\int P(x) d x} d x+C\right) \end{aligned}$

5. 伯努利方程}

$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x) y^{\alpha}\left(\text { 令 } u=y^{1-\alpha}\right) \Rightarrow \frac{d u}{d x}+(1-\alpha) P(x) u=(1-\alpha) Q(x)$

若 $\alpha>0$ ，则 $y=0$ 也是方程的解

6. 二阶线性常系数微分方程:

求解 $C_{1,2}(x):\left\{\begin{array}{l}C_{1}^{\prime}(x) f_{1}(x)+C_{2}^{\prime}(x) f_{2}(x)=0 \\ C_{1}^{\prime}(x) f_{1}^{\prime}(x)+C_{2}^{\prime}(x) f_{2}^{\prime}(x)=r(x)\end{array}\right.$

或采用待定系数法 :

(1)当 $r(x)=e^{\mu x} P_{m}(x)$ 时, $P_{m}(x)$ 表示最高次数为 $m$ 次的实多项式:

实多项式特解形式 $: y^{*}=x^{k} e^{\mu x} A_{m}(x), k$ 为 $\mu$ 在特征方程根中的重数

(2)当 $r(x)=e^{\mu x}\left(A_{k}(x) \cos \lambda x+B_{l}(x) \sin \lambda x\right)$ 时, 取 $m=\max (k, l)$ :

复多项式特解形式: $y^{*}=x^{k} e^{\mu x}\left[A_{m}(x) \cos \lambda x+B_{m}(x) \sin \lambda x\right], k$ 为 $\mu \pm \lambda i$ 的重数

7. 恰当方程与积分因子

$\begin{aligned} &\text { 若 } \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} \text {, 则微分方程 } M d x+N d y=0 \text { 称为恰当方程 } \\ &\text { 且方程的解为 } \int M d x+N d y=C \end{aligned}$

若不满足，则可寻找积分因子 $\mu(x, y)$ 使得 $\mu M d x+\mu N d y=0$ 是恰当方程

$\begin{aligned} &\text { (1)若 } \frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)\right]=0, \text { 则可求得 } \mu(x)=\exp \left\{\int \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) d x\right\} \\ &\text { (2)若 } \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)\right]=0, \text { 则可求得 } \mu(y)=\exp \left\{\int \frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) d y\right\} \end{aligned}$

8. 一阶隐式微分方程

(1)方程形式为 $y=f\left(x, y^{\prime}\right)$ ，令 $p=y^{\prime}$

$\begin{aligned} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p \frac{d y}{d x}+q y=r(x) \\ & \text { 特征方程 }: r^{2}+p x+q=0 \\ & \text { 基础解系 }: f_{1}(x), f_{2}(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{\alpha x}, x e^{\alpha x}, \text { 二重根 } \\e^{\alpha x}, e^{\beta x}, \text { 不同根 } \\e^{\alpha x} \cos \beta x, e^{\alpha x} \sin \beta x, \text { 复数根 }\end{array}\right. \\ & \text { 齐次通解形式 : } y=C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x) \\ & \text { 非齐次通解形式 : } y=C_{1}(x) f_{1}(x)+C_{2}(x) f_{2}(x) \end{aligned}$

原方程两边对 $x$ 求导 $: p=\frac{d f}{d x}+\frac{d f}{d p} \frac{d p}{d x}$

(1) 若方程有解 $: p=\varphi(x, C)$, 则原方程有通解 $: y=f(x, \varphi(x, C))$

(2) 若方程有解 : $x=\psi(p, C)$, 则原方程有通解 : $\left\{\begin{array}{l}x=\psi(p, C) \\ y=f(\psi(p, C), p)\end{array}\right.$

(3) 若方程有解 : $\phi(x, p, c)=0$, 则原方程有通解 : $\left\{\begin{array}{l}\phi(x, p, c)=0 \\ y=f(x, p)\end{array}\right.$

(2)方程形式为 $F\left(x, y^{\prime}\right)=0$ ，令 $p=y^{\prime}$

$\text { 合理构造 }\left\{\begin{array} { l } { x = \varphi ( t ) } \\ { p = \psi ( t ) } \end{array} \text { , 使得方程有解 : } \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t) \\ y=\int \psi(t) \varphi^{\prime}(t) d t+C \end{array}\right.\right.$

(3)方程形式为 $F\left(y, y^{\prime}\right)=0$ ，令 $p=y^{\prime}$

$\begin{aligned} &\text { 合理构造 }\left\{\begin{array} { l } { y = \varphi ( t ) } \\ { p = \psi ( t ) } \end{array} \text { , 使得方程有解 : } \left\{\begin{array}{l} x=\int \frac{\varphi^{\prime}(t)}{\psi(t)} d t+C \\ y=\varphi(t) \end{array}\right.\right. \\ &\text { 此外, 若方程 } F(y, 0)=0 \text { 有实根 } y=k, \text { 则 } y=k \text { 也是方程的解 } \end{aligned}$

$\begin{aligned} & \text { 此外, 若方程 } F(y, 0)=0 \text { 有实根 } y=k \text {, 则 } y=k \text { 也是方程的解 } \end{aligned}$

9. 微分方程的奇解}

若微分方程的某个解上任意一点至少还有方程的另外一个解存在，则该解称为微分方程的奇解

$\text { 其中 } p-\text { 判别曲线 }\left\{\begin{array}{l} F(x, y, p)=0 \\ F_{p}^{\prime}(x, y, p)=0 \end{array}\left(p=\frac{d y}{d x}\right)\right. \text { 即为可能的奇解, 需进一步验证 }$

0. 克莱罗微分方程}

$\begin{aligned} &y=x p+f(p), p=\frac{d y}{d x} \text { 连续可微时称为克莱罗微分方程 } \\ &\text { 其通解为 } y=c x+f(c), \text { 奇解为通解直线族的包络 } \end{aligned}$

1. 高阶常系数线性微分方程}

$\text { 微分方程 }: \frac{d^{n} x}{d t^{n}}+a_{1} \frac{d^{n-1} x}{d t^{n-1}}+\cdots+a_{n-1} \frac{d x}{d t}+a_{n} x=f(t)$

特征方程 $: r^{n}+a_{1} r^{n-1}+\cdots+a_{n-1} r+a_{n}=0$

$k$ 重实根 $\lambda$ 的基础解系 $t^{i-1} e^{\lambda t}(i=1,2, \ldots, k)$

$k$ 重复根 $\alpha \pm \beta i$ 的基础解系 $: t^{i-1} e^{\alpha t} \sin \beta t, t^{i-1} e^{\alpha t} \cos \beta t(i=1,2, \cdots, k)$

待定系数法求解}

(1)当 $f(t)=e^{\mu t} P_{m}(t)$ 时,$P_{m}(t)$ 表示最高次数为 $m$ 次的实多项式：

实多项式特解形式 : $x^{*}=t^{k} e^{\mu t} A_{m}(t), k$ 为 $\mu$ 在特征方程根中的重数

(2)当 $f(t)=e^{\mu t}\left(A_{k}(t) \cos \lambda t+B_{l}(t) \sin \lambda t\right)$ 时, , 取 $m=\max (k, l)$ :

复多项式特解形式 : $x^{*}=t^{k} e^{\mu t}\left[A_{m}(t) \cos \lambda t+B_{m}(t) \sin \lambda t\right], k$ 为 $\mu \pm \lambda i$ 的重数

常数变易法求解}

若 $x_{1}, \cdots, x_{n}$ 构成齐次通解的基础解系, 则非齐次通解为 $x=\sum_{k=1}^{n} C_{k}(t) x_{k}$, 其中

$\sum_{k=1}^{n} C_{k}^{\prime}(t) x_{k}^{(i)}(t)=0(i=0,1, \cdots, n-2)$

$\sum_{k=1}^{n} C_{k}^{\prime}(t) x_{k}^{(n-1)}(t)=f(t)$

2. 欧拉方程}

方程形式 : $x^{n} \frac{d^{n} y}{d x^{n}}+a_{1} x^{n-1} \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1} x \frac{d y}{d x}+a_{n} y=0$

换元方式 : 令 $x=e^{t}$ 或 $t=\ln x$

换元结果 $: D(D-1) \cdots(D-k+1) y+\cdots+a_{n-1} D y+a_{n} y=0$, 其中 $D=\frac{d}{d t}$

3. 二阶文次线性方程与刘维尔公式}

对于方程 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+P(x) \frac{d y}{d x}+Q(x) y=0$, 如果已知一个特解 $y_{1}$, 则可以求出通解

根据刘维尔公式, 齐次方程通解为 $: y=C_{1} y_{1}+C_{2} y_{1} \int \frac{1}{y_{1}^{2}} e^{-\int P(x) d x} d x$

通过观察法求特解 :

(1) $P(x)+x Q(x)=0 \Rightarrow y=x$

(2) $1+P(x)+Q(x)=0 \Rightarrow y=e^{x}$

(3) $1-P(X)+Q(x)=0 \Rightarrow y=e^{-x}$

第二章线性代数

$2.1$ 空间向量与立体解析几何

1. 三维向量的点积与叉积

设 $\boldsymbol{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \boldsymbol{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$ ，则

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$

$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$, 方向满足右手系

2. 三维向量的混合积

$[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]=(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\left|\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$

3. 向量间的关系

$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$

$\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=0 \Leftrightarrow \lambda \boldsymbol{a}=\mu \boldsymbol{b}$ ，其中 $\lambda, \mu$ 不全为零

$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 共面 $\Leftrightarrow \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 线性相关 $\Leftrightarrow[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]=0$

4. 平面方程

(1) 点法式 : $A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0$

(2)一般式 : $A x+B y+C z+D=0$

(3)截距式 : $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

(4)通过直线 $\left\{\begin{array}{l}L_{1}(x, y, z)=0 \\ L_{2}(x, y, z)=0\end{array}\right.$ 的平面束方程 $: \lambda L_{1}+\mu L_{2}=0$

5. 空间直线方程

$\begin{aligned} &\text { (1)对称式: } \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p} \\ &\text { (2)参数式: }\left\{\begin{array}{l} x=x_{0}+m t \\ y=y_{0}+n t \\ z=z_{0}+p t \end{array}\right. \\ &\text { (3)一般式 : }\left\{\begin{array}{l} A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0 \end{array}\right. \end{aligned}$

6. 点、空间直线、平面之间的关系

设平面 $\pi_{1}, \pi_{2}$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}_{1}, \boldsymbol{n}_{2}$ ，直线 $L_{1}, L_{2}$ 的切向量为 $\boldsymbol{s}_{1}, \boldsymbol{s}_{2}$ ，则

相互垂直 $\Leftrightarrow$ 对应向量点积为零

相互平行 $\Leftrightarrow$ 对应向量叉积为零向量

平面夹角余弦： $\cos \theta=\frac{\boldsymbol{n}_{1} \cdot \boldsymbol{n}_{2}}{\left|\boldsymbol{n}_{1}\right|\left|\boldsymbol{n}_{2}\right|}$

直线夹角余弦: $\cos \theta=\frac{s_{1} \cdot s_{2}}{\left|s_{1}\right|\left|s_{2}\right|}$

直线与平面夹角的正弦: $\sin \theta=\frac{n \cdot s}{|n||s|}$

$\begin{aligned} \text { 点 }\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \text { 到平面 } A x+B y+C z+D=0 \text { 的距离 } \\ d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \end{aligned}$

7. 曲面方程

$\begin{aligned} &\text { 旋转曲面: }\left\{\begin{array}{l} f(y, z)=0_{\text {绕 }} z \text { 轴旋转的旋转曲面方程是 } f\left(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0 \\ x=0 \end{array}\right. \\ &\text { 柱面: 准线为 }\left\{\begin{array}{l} f(x, y)=0 \\ z=0 \end{array} \text { ，母线平行于 } z \text { 轴的柱面方程是 } f(x, y)=0\right. \end{aligned}$

8. 二次曲面

球面: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

椭球面: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$

圆锥面: $z^{2}=a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$

椭圆锥面: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^{2}$

单叶双曲面: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$

双叶双曲面: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$

椭圆抛物面: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z$

双曲抛物面 (马鞍面) : $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=z$

$2.2$ 线性变换与线性空间

1. 线性组合

设 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 都是 $n$ 维向量，若存在一组实数 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m}$ 使得

$\boldsymbol{\beta}=\lambda_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots+\lambda_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

则称向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示，或称向量 $\boldsymbol{\beta}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 的线性组合。

2. 线性相关

设有 $n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ ，若存在一组不全为零的实数 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m}$ 使得

$\lambda_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots+\lambda_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}$

则称向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性相关；否则称它们线性无关

线性相关的推论

$n$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 线性相关的充要条件是行列式 $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|=0$ 。

向量组部分线性相关则整体线性相关；向量组整体线性无关则部分线性相关。

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性相关的充要条件是存在一个向量可由其余 $m-1$ 个向量线性表示。

若有 $m$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 且 $m>n$ ，则该向量组线性相关。

若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性无关，且添加 $\boldsymbol{\beta}$ 后线性相关，则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示，且表 示法唯一。

3. 等价向量组

设有两个 $n$ 维向量组

$A: \boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r} \quad B: \boldsymbol{\beta}_{1} \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$

如果 $A$ 中的每个向量组都能由向量组 $B$ 线性表示，则称向量组 $A$ 能由向量组 $B$ 线性表示。如果向量组 $A, B$ 能够相互线性表示，则称向量组 $A$ 与 $B$ 等价。

大数定理：若 $A$ 可由 $B$ 线性表示，且向量组 $A$ 线性无关，则 $r \leq s$ 。

4. 极大线性无关组}

若一个向量组 $A$ 中的部分组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 满足下列两个条件： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 线性无关；向量组 $A$ 中的任一 向量都可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 线性表示，则称 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 为向量组 $A$ 的一个极大线性无关组。

向量组与它的任一极大线性无关组等价。

5. 向量组的秩}

向量组 $A$ 的极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩，记作 $R(A)$ 。

若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，则 $R(A) \leq R(B)$ ，等价向量组有相同的秩。

矩阵的秩可看作是矩阵各行组成行向量组的秩，也可以看作是矩阵各列组成列向量组的秩。

6. 齐次线性方程组的基础解系

设向量 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{t}$ 是交次线性方程组 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的一组解，如果该向量组线性无关，且可以线性表示方 程组的任意一个解，则称向量组 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{t}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系。

若 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{t}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的解，则 $k_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}+\cdots+k_{t} \boldsymbol{\xi}_{t}$ 也是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的解。

7. 非齐次方程组的解}

若 $\boldsymbol{\xi}$ 是 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的解， $\boldsymbol{\eta}$ 是 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{b}$ 的解，则 $\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}$ 是 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{b}$ 的解。

若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的解，则 $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的解。

若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{t}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的解，则 $\frac{1}{t}\left(\boldsymbol{\eta}_{1}+\cdots+\boldsymbol{\eta}_{t}\right)$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的解。

8. 线性方程组相关定理

线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 有解的充要条件是 $R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$ 。

若 $R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})=R(\boldsymbol{A})=r ， \boldsymbol{A}$ 的列数为 $n$ ，则方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 在 $r=n$ 时有唯一解， $r<n$ 时有无穷多 解。

设 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 秩为 $r$ ，若 $r<n$ ，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 有基础解系，且基础解系所含向量个数为 $n-r$ 。

设 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系，则 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的通解为

$\boldsymbol{X}=k_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}+\cdots+k_{n-r} \boldsymbol{\xi}_{n-r}$

设$\boldsymbol{\xi}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$是$AX=0$的一个基础解析，$\eta$是$AX=B$的一个特解，则$AX=B$的通解为

$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\eta}+k_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}+\cdots+k_{n-r} \boldsymbol{\xi}_{n-r}$

Crameri法则：若 $\left|\boldsymbol{A}_{n \times n}\right| \neq 0$ ，则方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解 $x_{j}=\frac{\left|\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}_{j}\right|}{|\boldsymbol{A}|}(j=1, \cdots, n)_{\text {。 }}$ 方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 有非零解 $\Leftrightarrow R(\boldsymbol{A})<n$ 。

9. 线性空间

若对于非空集合 $V$ 和数域 $F$ ，对任意 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \in V, \lambda, \mu \in F$ 满足以下八条性质，则称 $V$ 是一个线性空间

$\begin{aligned} &(1) \boldsymbol{a}+\mathbf{0}=\boldsymbol{a} \\ &(2) \boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a})=\mathbf{0} \\ &(3) 1 \cdot \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a} \\ &(4) \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} \\ &(5) \boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c} \\ &(6)(\lambda \mu) \boldsymbol{a}=\lambda(\mu \boldsymbol{a}) \\ &(7)(\lambda+\mu) \boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{a} \\ &(8) \lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b} \end{aligned}$

0. 线性空间的基与坐标

若向量组 $\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 线性无关，且能线性表示线性空间 $V$ 中的所有向量，则称为线性空间 $V$ 的一组 基。

若 $V$ 中的向量 $\boldsymbol{\alpha}=a_{1} \varepsilon_{1}+\cdots+a_{n} \varepsilon_{n}=\left[\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}\right]\left[\begin{array}{c}a_{1} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right]$ ，则称 $\left[\begin{array}{c}a_{1} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right]$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的坐 标。

11. 过渡矩阵与坐标变换公式

若两组基 $\boldsymbol{S}=\left[\varepsilon_{1}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}\right], \boldsymbol{T}=\left[\boldsymbol{\eta}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{n}\right]$ 满足基变换公式 $\boldsymbol{T}=\boldsymbol{S P}$ ，则称 $\boldsymbol{P}$ 是从 $\boldsymbol{S}$ 到 $\boldsymbol{T}$ 的过渡矩 阵。

设向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在 $\boldsymbol{S}, \boldsymbol{T}$ 下的坐标分别为 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ ，则满足坐标变换公式 $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{P}$ 。

12. 线性变换矩阵

对于一组基 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n}$ ，若存在矩阵 $A$ 使得线性变换 $\sigma$ 满足 $\sigma\left(\boldsymbol{\xi}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{\xi}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n}\right) \boldsymbol{A}$ ，则称矩 阵 $\boldsymbol{A}$ 为线性变换 $\sigma$ 在基 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n}$ 下所对应的矩阵。

若线性空间 $V$ 的线性变换 $\sigma$ 在两组基 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n}$ 以及 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{n}$ 下对应的矩阵分别为 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} ， \boldsymbol{\xi}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n}$ 到 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{n}$ 的过渡矩阵为 $\boldsymbol{P}$ ，则有 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{\text {。 }}$

13. 解空间

$\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0} \text { 的解空间记为 } V_{A} \text { ，其维数 } \operatorname{dim} V_{A}=n-R(\boldsymbol{A})$

14. 维数公式

$\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim} W_{2}-\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)$

其中 $W_{1}+W_{2}=\left\{w_{1}+w_{2}: w_{1} \in W_{1}, w_{2} \in W_{2}\right\}$

$2.3$ 矩阵的行列式与代数运算}

1. 行列式的定义

定义逆序数 $\tau\left(i_{1} \cdots i_{n}\right)$ 为排序 $i_{1} \cdots i_{n}$ 中满足 $(p-q)\left(i_{p}-i_{q}\right)<0$ 所有实数对 $\left(i_{p}, i_{q}\right)$ 的数目，其中 $\left(i_{p}, i_{q}\right)$ 称为一个逆序。

定义 $\delta\left(i_{1} \cdots i_{n}\right)=(-1)^{\tau\left(i_{1} \cdots i_{n}\right)}$ ，从而可以定义行列式

$\operatorname{det} \boldsymbol{A}=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\sum_{\left(i_{1} \cdots i_{n}\right)} \delta\left(i_{1} \cdots i_{n}\right) a_{i_{1}} \cdots a_{i_{n}}$

2. 余子式和代数余子式

行列式中去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的行列式称为余子式，记作 $M_{i j}$ 。 代数余子式需要考虑位置关系: $A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j 。}$

3. 行列式展开定理

$\sum_{i=1}^{n} a_{i k} A_{i j}=\left\{\begin{array}{l} 0(k \neq j) \\ |A|(k=j) \end{array} \text { 或 } \sum_{j=1}^{n} a_{k j} A_{i j}=\left\{\begin{array}{l} 0(k \neq i) \\ |A|(k=j) \end{array}\right.\right.$

4. 行列式运算性质

$\begin{aligned} &(1) \operatorname{det}\left(a_{1}, \cdots, b+c, \cdots, a_{n}\right)=\operatorname{det}\left(a_{1}, \cdots, b, \cdots, a_{n}\right)+\operatorname{det}\left(a_{1}, \cdots, c, \cdots, a_{n}\right) \\ &(2) \operatorname{det}\left(a_{1}, \cdots, \lambda a_{i}, \cdots, a_{n}\right)=\lambda \operatorname{det}\left(a_{1}, \cdots, a_{i}, \cdots, a_{n}\right) \\ &(3) \operatorname{det}\left(a_{1}, \cdots, a_{i}, \cdots, a_{j}, \cdots, a_{n}\right)=-\operatorname{det}\left(a_{1}, \cdots, a_{j}, \cdots, a_{i}, \cdots, a_{n}\right) \\ &(4) \operatorname{det}\left(a_{1}, \cdots, a_{i}, \cdots, a_{j}, \cdots, a_{n}\right)=0, \text { 若 } a_{i}=\lambda a_{j} \\ &\text { (5) } \operatorname{det}\left(a_{1}, \cdots, a_{i}, \cdots, a_{j}, \cdots, a_{n}\right)=0, \text { 若 } a_{i}=\mathbf{0} \\ &(6) \operatorname{det}\left(a_{1}, \cdots, a_{i}, \cdots, a_{j}, \cdots, a_{n}\right)=\operatorname{det}\left(a_{1}, \cdots, a_{i}+\lambda a_{j}, \cdots, a_{j}, \cdots, a_{n}\right) \\ &\text { (7) } \operatorname{det}\left(a_{1},, \cdots, a_{n}\right)=\operatorname{det}\left(a_{1},, \cdots, a_{n}\right)^{T} \end{aligned}$

5. 伴随矩阵

将原矩阵对应元素用对应代数余子式替代，得到的矩阵进行转置后得到伴随矩阵

$\text { 若 } \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right], \text { 则 } \boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{ccc} A_{11} & \cdots & A_{n 1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1 n} & \cdots & A_{n n} \end{array}\right]$

两个计算要点：乘以位置系数 $(-1)^{i+j}$ ，取转置。

6. 逆矩阵

对于矩阵 $A$ ，若存在 $B$ 使得 $A B=B A=E$ ，E为单位阵，则称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵。

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵， $k$ 是非零常数，则

$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}, \quad(k \boldsymbol{A})^{-1}=\frac{1}{k} \boldsymbol{A}^{-1}, \quad\left(\boldsymbol{A}^{T}\right)^{-1}=\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{T}$

7. 抽象矩阵的行列式计算

$\begin{aligned} &\text { (1) }|k \boldsymbol{A}|=k^{n}|\boldsymbol{A}|, \text { 其中 } k \text { 为常数, } \boldsymbol{A} \text { 为 } n \text { 阶矩阵 } \\ &\text { (2) }\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{D} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \text {, 其中 } \boldsymbol{A} \text { 和 } \boldsymbol{B} \text { 均为方阵, 可以不同阶 } \\ &\text { (3) }\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} \boldsymbol{D} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|=(-1)^{m n}|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \text {, 其中 } \boldsymbol{A} \text { 为 } m \text { 阶方阵, } \boldsymbol{B} \text { 为 } n \text { 阶方 } \\ &\text { (4) } \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E} \\ &\text { (5) }\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}, \text { 其中 } \boldsymbol{A} \text { 为 } n \text { 阶方阵 } \\ &\text { (6) }\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}, \text { 其中 } \boldsymbol{A} \text { 为 } n \text { 阶方阵 } \\ &\text { (7) }\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=|\boldsymbol{A}|^{-1}, \text { 若 } \boldsymbol{A} \text { 可逆 } \end{aligned}$

8. 矩阵的加法和数乘

若 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right){m \times n}, \boldsymbol{B}=\left(b{i j}\right){m \times n} \text { ，则 } \boldsymbol{A} \pm \boldsymbol{B}=\left(a{i j} \pm b_{i j}\right)_{m \times n \text { 。 }} $

若 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n ， \quad \text { 若 }} \lambda \boldsymbol{A}=\left(\lambda a_{i j}\right)_{m \times n \text { 。 }}$

9. 矩阵的乘法

   若$\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times s}, \boldsymbol{B}=\left(b_{ij} \right)_{s \times n}$，则$AB=C$，其中$\boldsymbol{C}=\left(c_{i j}\right)_{m \times n}, c_{i j}=\sum_{k=1}^{s} a_{i k} b_{k j }$

10. 矩阵的转置运算

$\begin{aligned} &(1)\left(\boldsymbol{A}^{T}\right)^{T}=\boldsymbol{A} \\ &(2)(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{T}=\boldsymbol{A}^{T}+\boldsymbol{B}^{T} \\ &(3)(\lambda \boldsymbol{A})^{T}=\lambda \boldsymbol{A}^{T} \\ &(4)(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{T}=\boldsymbol{B}^{T} \boldsymbol{A}^{T} \end{aligned}$

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，若 $\boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{A}$ 则称 $\boldsymbol{A}$ 为对称矩阵，若 $\boldsymbol{A}^{T}=-\boldsymbol{A}$ 则称 $\boldsymbol{A}$ 为反对称矩阵。

11. 初等方阵与初等变换

对矩阵的以下三种变换称为初等变换:

(1) 交换矩阵的任意两行（列）；

（2）用一个非零数去乘矩阵某一行（列）的所有元素；

(3) 将一行 (列) 元素任意倍加到另一行 (列) 去。

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵。

左乘初等矩阵相当于对原始矩阵进行行变换，右乘初等矩阵相当于对原始矩阵进行列变换。

三种变换均不改变矩阵的秩，但如果原矩阵为方阵，只有第三种变换不改变矩阵的行列式。

12. 矩阵的等价

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $m \times n$ 矩阵，若 $\boldsymbol{A}$ 可以经过有限次初等变换化为 $\boldsymbol{B}$ ，则称 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价。

$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价的充要条件是：存在 $m$ 阶可逆阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $n$ 阶可逆阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$ 。

13. $n$ 阶方阵的秩相关结论

$\begin{aligned} &\text { (1) } R(\boldsymbol{A})=n \Leftrightarrow R\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=n \\ &(2) R(\boldsymbol{A})=n-1 \Leftrightarrow R\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1 \\ &(3) R(\boldsymbol{A})<n-1 \Leftrightarrow R\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=0 \end{aligned}$

14. 矩阵秩相关的其他结论

$\begin{aligned} &\text { (1) } R(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leq R[(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})] \leq R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B}) \\ &\text { (2) } R(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leq \min \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\} \\ &\text { (3) 若 } \boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{B}_{n \times p}=\boldsymbol{O}_{n \times p}, \text { 则 } R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{B}) \leq n \end{aligned}$

15. 矩阵的标准形

设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 $r$ 的 $m \times n$ 矩阵，则存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{Q} ，$ 使得

$\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{E}_{r} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O} \end{array}\right]_{m \times n}$

称 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{E}_{r} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]_{m \times n}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的标准形。

$2.4$ 矩阵特征值分解与二次型}

1. 特征值与特征向量

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，若对实数 $\lambda$ 存在非零向量 $\boldsymbol{\alpha}$ ，使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\lambda \boldsymbol{\alpha}$ ，则称 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值， $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的对应 特征值 $\lambda$ 的特征向量。称 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征方程， $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=0$ 的全部解即为 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征向 是。

$\boldsymbol{A}$ 对角线元素之和称为迹，记作 $\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})$ ，且 $\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n}$ 。

2. 矩阵的相似

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$ ，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似。 若 $A$ 与 $B$ 相似，则

$\begin{aligned} &\text { (1) }|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}| \\ &(2)|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|, \operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=\operatorname{tr}(\boldsymbol{B}), R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{B}) \\ &\text { (3) } \boldsymbol{A}^{T} \text { 与 } \boldsymbol{B}^{T} \text { 相似, } \boldsymbol{A}^{m} \text { 与 } \boldsymbol{B}^{m} \text { 相似, } f(\boldsymbol{A}) \text { 与 } f(\boldsymbol{B}) \text { 相似 } \\ &\text { (4)当 } \boldsymbol{A} \text { 可逆时, } \boldsymbol{A}^{-1} \text { 与 } \boldsymbol{B}^{-1} \text { 相似, } \boldsymbol{A}^{*} \text { 与 } \boldsymbol{B}^{*} \text { 相似 } \end{aligned}$

3. 矩阵可相似对角化的第一种充要条件}

$n \text { 阶矩阵 } \boldsymbol{A} \text { 可相似对角化的充要条件是 } \boldsymbol{A} \text { 有 } n \text { 个线性无关的特征向量 }$

推论：若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值，则必可相似对角化，反之不成立。

4. 矩阵可相似对角化的第二种充要条件}

设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的不同特征值为 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{s}$ ，其重数分别为 $r_{1}, \cdots, r_{s}$ ，且 $\sum_{i=1}^{s} r_{i}=n$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角 化的充要条件是对于每一个特征值 $\lambda_{i}$ 有 $R\left(\lambda_{i} \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)=n-r_{i}$ ，即对应于特征值极大线性无关的特 征向量的个数恰好等于其重数 $r_{i}(i=1, \cdots, s)$ 。

5. 相似对角化的计算方法}

6. 向量的内积与正交性}

$\begin{aligned} \text { 若 } \boldsymbol{\alpha}=\left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right)^{T}, \boldsymbol{\beta}=&\left(b_{1}, \cdots, b_{n}\right)^{T} \text { ，则记 } \boldsymbol{\alpha} \text { 与 } \boldsymbol{\beta} \text { 的内积为： } \\ &(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha}^{T} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^{T} \boldsymbol{\alpha}=a_{1} b_{1}+\cdots+a_{n} b_{n} \end{aligned}$

若 $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=0$ ，则称 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 正交。

Schimidt正交化方法}

若有 $n$ 个线性无关的向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ ，则过程分为正交化和单位化

正交化过程

$\boldsymbol{\beta}_{k}=\boldsymbol{\alpha}_{k}-\sum_{i=1}^{k-1} \frac{\left(\boldsymbol{\beta}_{i}, \boldsymbol{\alpha}_{k}\right)}{\left(\boldsymbol{\beta}_{i}, \boldsymbol{\beta}_{i}\right)} \boldsymbol{\beta}_{i}, \quad k=1, \cdots, n$

单位化过程

$\boldsymbol{\eta}_{k}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{k}}{\left\|\boldsymbol{\beta}_{k}\right\|}, \quad k=1, \cdots, n$

从而得到一组单位正交向量 $\boldsymbol{\eta}_{1} \cdots, \boldsymbol{\eta}_{n}$ 。

8. 正交矩阵}

若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{E}$ 或者 $\boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{A}^{-1}$ ，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵。

9. 实对称矩阵的正交相似对角化}

(1) 实对称矩阵的特征值均为实数；

(2) 实对称矩阵对应不同特征值的特征向量相互正交；

$\begin{aligned} & \text { (1)计算矩阵 } \boldsymbol{A} \text { 的特征值 } \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n} \\ & \text { (2)计算对应特征值的对应特征向量 } \boldsymbol{p}_{1}, \cdots, \boldsymbol{p}_{n} \\ & (3) \text { 记 } \boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{p}_{1}, \cdots, \boldsymbol{p}_{n}\right] \text {, 则 } \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & & \\& \ddots & \\& & \lambda_{n}\end{array}\right] \end{aligned}$

(3) 实对称矩阵必定可以相似对角化;

（4）若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，且特征值为 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ ，则存在正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得

$\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll} \lambda_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_{n} \end{array}\right]$

（5）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似的充要条件是 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征值。

10. 一负型

$n$ 个变量 $x_{1}, \cdots, x_{n}$ 的二次齐次实系数函数

$f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} x_{i}^{2}+\sum_{i<j}^{n} 2 a_{i j} x_{i} x_{j}$

称为 $n$ 元实二次型，可以表示为 $\boldsymbol{X}^{T} \boldsymbol{A X}$ ，其中

$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right], \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right]$

且 $a_{i j}=a_{j i}(i, j=1, \cdots, n)$ 。

11. 二次型的标准形与规范性

若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ 以及 $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{C} \boldsymbol{Y}$ ，使得

$f=\boldsymbol{X}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{Y}^{T}\left[\begin{array}{lll} k_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & k_{n} \end{array}\right] \boldsymbol{Y}$

则称 $f=k_{1} y_{1}^{2}+\cdots+k_{n} y_{n}^{2}$ 为 $f$ 的标准形

进一步，根据 $k_{i}$ 的正负号可写为 $f=z_{1}^{2}+\cdots+z_{p}^{2}-z_{p+1}^{2}-\cdots-z_{r}^{2}$ 的形式，称为 $f$ 的规范形。 其中 $r$ 是 $f$ 的秩， $p$ 为 $f$ 的正惯性指数， $r-p$ 为 $f$ 的负惯性指数。

2. 矩阵的相合}

设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$ ，则称 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相合。

任何实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必和如下对角阵合同

$\Lambda=\left[\begin{array}{lll} \boldsymbol{E}_{p} & & \\ & -\boldsymbol{E}_{r-p} & \\ & & \boldsymbol{O} \end{array}\right]$

3. 正定二次型与正定矩阵}

设 $f=\boldsymbol{X}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}$ 为 $n$ 元二次型，若对任意 $n$ 维维非零向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均有 $\boldsymbol{\alpha}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}>0$ ，则称 $f$ 为正定二次型，同 时称矩阵 $A$ 为正定矩阵。

若 $n$ 维矩阵 $A$ 是正定矩阵，则

(1) $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵；

（2）A正惯性指数为 $n$ ，所有特征值均为正；

(3) $\boldsymbol{A}$ 与单位阵合同；